如何将苹果平均一分为二，还能保证它长时间的新鲜？
这是一个严肃的科学问题，已经困扰了人类数学家 25 年之久。
根据常识，就是要保证果肉暴露在外面的面积最小，也就是切片的面积最小。如果跨越到更高的维度，是否依然成立？
这就是 1995 年，由三位数学家提出的一个几何学猜想。
现在，这个难题被一位华人统计学博士，解决了。
成果一经发布，就迅速引起了数学、理论计算机科学、统计学等多个领域的科学家的关注。
他们一致认为，数学大师、菲尔兹奖得主，原本猜想的提出者 Jean Bourgain（让·布尔甘）一定会对这一进展感到兴奋。
毕竟，在他去世前（2018 年）的几个月里还在关心这一问题进展，但终其一生都未能解决。
困扰数学家 25 年的几何问题
1984 年，著名数学家让·布尔甘提出了一个猜想。
一个任意维度的凸体，用低一维的平面去平分，那么存在一个常数c，让凸体至少存在一个切面的面积大于c。
换句话说，如果你一刀平分“任意维度空间的西瓜”，随便你怎么劈，总有一个切面总大于c。
（Ps：以往的科学家用的是苹果的例子。但准确来说不能选苹果，因为苹果上下是凹的。）
在 3 维空间中，这个结论似乎很好理解，因为无论西瓜长成什么奇形怪状，总不可能在每个角度都细长。
像下面这样的长西瓜，竖直切下去，切面很小，可以你也可以水平切开平分它，这样切面就会很大。
但在 3 维世界中正确的事情，到了高维空间却不一定成立。
这个问题后来被布尔甘自己证明，但数学家们并不满足于用平面切西瓜，而是希望能找到一个更小的切面，它可以是曲面。
而这恰好是 1995 年 Kannan、Lovász 和 Simonovits 三人提出的 KLS 猜想关心的问题：用来平分的最小曲面面积是多少？
以二维空间里的一个三角形为例。
这个最小的“曲面”是一段圆弧。用圆弧来平分一个三角形，中间的线长度最短，而最佳“平面”——直线——的效果略差。
△ 如何用最小“切面”平分三角形（来源：Quanta Magazine）
到了更高维度的空间中，二等分的最佳平面和最佳曲面差距会变大吗？切面的面积是否和维度d有关？
这个问题已经不再是纯粹的数学问题。
普林斯顿大学数学系教授 Assaf Naor 表示，KLS 猜想在纯粹的数学和理论计算机科学中都很重要。
KLS 猜想的结果，直接关系到随机行走算法的运行时间，如机器学习模型中采样问题。
所以最后解决这个几何问题的学者，都并非几何学的专家，而是来自计算机界。
用统计方法解决他
经过数学家的抽象，KLS 猜想就像一个封装着气体的容器，找到最佳切面就是寻找容器的“瓶颈”。
想象一个哑铃形状的容器，里面有一个气体分子在随机运动，哑铃中间连接部分越细，分子就越难跑到另一侧。
△哑铃形的平分切面很小（来源：Yin Tat Lee 论文）
现在人们想知道，在高维空间，这个凸的容器最细的地方有多细。（当然，哑铃并非是凸的。）
2012 年，Eldan 通过引入一种称为随机定位的技术，来降低这个问题与维度上界。（到底是维度d的几次幂。）
2015 年末，华盛顿大学的 Vempala 和 Yin Tat Lee 改进了 Eldan 的随机定位，以进一步将 KLS 因子（用于描述瓶颈是否存在）降低到维度的四次根 d1/4。
△ KLS 猜想的上界不断降低（来源：同上）
甚至，他们还将幂指数降低到几乎为0，由于d的 0 次幂总是等于1，Lee 和 Vempala 似乎证明了 KLS 因子是一个与维度无关的常数。
他们在 arXiv 上发布了他们的论文。但是几天后，这篇文章就被人发现了一个缺陷，他们关于 d0 的证明是错的。
之后，二人修改了文章，把界限重新调整到 d1/4。几年来，研究人员认为 KLS 猜想的探索已经到此终结了。
不过他们还在论文中，保留了 d0 证明的一些想法。这也为后来的突破埋下伏笔。
他们的论文引起了另一位统计学者 Yuansi Chen 的注意。
Chen 当时是加州大学伯克利分校的统计学研究生，他正在研究随机采样方法的混合率。而随机抽样是许多类型统计推断中的关键，例如贝叶斯统计。
Chen 深入研究文学，花了数周时间试图填补 Lee 和 Vempala 的证明中的空白，但依然没有解决。
于是他转变了思路，在 Lee 和 Vempala 的思想指导下，他找到了一种方法，采用递归来降低 KLS 因子上界。
经过反复迭代，这种方法将 KLS 猜想问题再次拉回到 d0 的上界。
这一结果意味着，高维凸形物体不会有哑铃那样的结构。
该定理的结果意味着，在n维凸体中随机行走，遍历整个图形的速度比我们之前预想得要快得多。
这将有助于计算机科学家对不同的随机采样算法进行优先级排序。
三个计算机相关的科学家
虽然表面看上去，这三位学者似乎跟数学没什么关系。
但仔细翻看他们的履历，他们都曾跟数学结下了不小的缘分。
首先，直接与研究相关的这位统计学博士后——Yuansi Chen （陈远思，音译）。
今年年初，他开始在杜克大学统计科学系担任助理教授的职位。
主要研究方向是统计机器学习、优化以及在神经科学中的应用，尤其对其中域适应性、稳定性、MCMC 采样算法、卷积神经网络和计算神经科学中出现的统计问题感兴趣。
2019 年，他在加州大学伯克利分校统计系获得博士学位。
其博士生导师是著名华裔统计学家、UC 伯克利统计系和电子工程与计算机科学系终身教授郁彬。
在攻读博士之前，他还在法国 Ecole Polytechnique 获得了应用数学专业的工程师文凭。
随后，前往在苏黎世联邦理工学院 ETH Foundations of Data Science（ETH-FDS）做博士后研究。
而启发 Yuansi Chen 数学灵感的，是两位计算机科学家。
Yin Tat Lee （李贤达，音译）和 Santosh S. Vempala。
李贤达，目前是华盛顿大学助理教授，本科毕业于香港中文大学。
2012 年从港中文大学毕业后，前往麻省理工学院攻读博士学位，随后前往微软研究院做博士后研究。
他的研究方向主要在算法方面，包括凸优化、凸几何、谱图理论和在线算法等广泛的课题。
以往的研究里，他曾结合连续数学和离散数学的思想，大幅提升了在计算机科学和优化中许多基本问题的算法，比如线性编程和最大流量问题。
他曾获得 SODA 最佳论文奖、NeurIPS 2018 最佳论文奖、NSF 职业奖。
去年他还获得了有“诺奖风向标”之称的斯隆奖，以及美国最大的非政府奖学金之一——帕卡德奖学金。
再来看 Santosh S. Vempala，佐治亚理工学院计算机科学教授。
主要研究领域是理论计算机科学，还抽样、学习、优化和数据分析的算法工具；随机线性代数，高维几何。
他曾在卡内基梅隆大学攻读博士学位，本科毕业于印度理工学院的计算机专业，曾获 NSF 职业奖、斯隆奖等奖项。
在来到佐治亚理工学院之前，他曾担任 MIT 应用数学系担任教授、UC 伯克利米勒研究员。
数学家：不可思议
随着陈远思论文一发布，迅速就引起了数学界的学者关注。
不光是因为此前的错误证明，还由于陈远思这个名字在数学界十分陌生，研究人员对待这一成果十分谨慎。
但他的方法很容易被验证。
早期研究过 KLS 猜想的以色列数学家 BoázKlartag，就在第一时间看了论文。
我基本上立即停止了我正在做的一切事情，并检查了这篇论文。
这篇论文是 100% 正确的，这一点毫无疑问。
除了一众数学家关注之外，还引起了理论数学家、统计学等领域的注意。
哈佛大学计算机科学教授、微软研究院前新英格兰首席研究员 Boaz Barak 则发推祝贺。
并表示这是一个非常重要的突破，加速了对近似凸体体积的研究。
但点赞祝贺之余，也有不少学者表示十分遗憾。
因为提出这一猜想的人菲尔兹奖得主布尔甘已于 2018 年去世，如果他还在的话，一定会为这一进展感到兴奋。
据 QuantaMagazine 报道，布尔甘曾在去世前几个月，联系了他的朋友、特拉维夫大学教授 Vitali Milman，询问这一猜想是否有任何进展，想在离开之前知道答案。
但 Vitali Milman 说，布尔甘在这一问题上，花费的时间和投入的精力比任何其他问题多得多。没想到，最后这个问题却被统计学解决了。
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